Необходимо отправлять из здания "космическая программа" миссию на повышение престижа. Никаких дополнительных действий делать не нужно. Шанс выпадания особого события далеко не стопроцентный.

Сюжетное задание Бюрократия 2.0 заканчивается запуском ракеты. Сохраняемся перед запуском и повторяем "Задание на престиж" пока не выпадет трофей

В песочнице на бесконечных деньгах трофеи не выпадают

Возводим несколько научных лабораторий, когда накопится 5000 очков знаний - строим космическую программу, в ней нажимаем "выполнить задание на престиж". С некоторым шансом в конце задания (прогресс можно посмотреть в самом здании) появится особое событие и вы получите достижение. Если этого не случилось - запускаем задание заново

Получилось сделать задание только на миссии "Защита сверхдержавы", на "Тропикленде" никак не получалось, за загрузками провел полтора часа.